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土星的行星环非常出名。虽然木星、土星、天王星和海王星也有环，但土星环是我们太阳系中最大、最亮、最广为人知的行星环。

它由小到灰尘的颗粒，大到巨石的物体组成。这些物体的成分主要是冰，一般认为是彗星或较大的小行星与土星的一颗卫星相撞时产生的，两者都撞成了小碎块。在远古时代，土星就已为人所知，但直到1610年，伽利略才首次用望远镜对它进行观测。

这个行星以罗马农业之神土星Saturn命名为，也就是我们每个星期的第六天Saturday。

图1至图5中的图像是由本文文末的代码生成的。每张图都呈现不同的方向角，图标题中有相应的说明。

图标题中还列出了入射光线的单位矢量分量，例如lx=+0.707，ly=+0.707，lz=0  表示左上象限中的光源;lx=-1，ly=0，lz=0表示来自右侧的光源。在图像中请注意行星在环上投射的阴影，尤其是在图5中能够看到行星轮廓的曲率。

▲图1 包含土星环和阴影的土星1：Rx=-20°, Ry=0, Rz=-10°, lx=1, ly=0, lz=0

▲图2 包含土星环和阴影的土星2：Rx=-8°, Ry=0, Rz=-30°, lx=0.707, ly=.707, lz=0

▲图3 包含土星环和阴影的土星3：Rx=20°, Ry=0, Rz=25°, lx=0.707, ly=0.707, lz=0

▲图4 包含土星环和阴影的土星4：Rx=-10°, Ry=0, Rz=25°, lx=0.707, ly=-0.707, lz=0

▲图5 包含土星环和阴影的土星5：Rx=20°, Ry=0, Rz=30°, lx=-1, ly=0, lz=0

为了进行比较，你可以在下面网址找到土星的摄像图：

https://www.jpl.nasa.gov/spaceimages/?search=saturn&category=#submit

图6所示为构建土星环所用的数学模型。这里介绍一种实现球体着色的算法。首先创建一个直立球体，也就是说，经度是垂直的，纬度是水平的(即平行于XZ平面)，然后从初始方向开始，围绕x，y和z轴对球体进行旋转。

▲图6 土星环模型：行星俯视图和从XZ平面上Rx=0, Ry=0, Rz=0向下看环

我们对土星环也进行同样的操作。我们可以创建平行于XZ平面的水平环，然后将它和土星一起旋转相同的角度。土星环所处的平面穿过土星的球心，因此土星和环具有相同的旋转中心。

土星环绘制为一系列相邻的同心圆，每个同心圆由短线段组成。参考图6和文末代码，程序第42和43行设置了土星环的内半径和外半径，第44行设置同心圆的间距。土星环被分成七个同心环形带(图6中未画出)且具有不同的颜色，第45行的deltar是它们的宽度。

构成同心圆的每个线段都单独绘制。第48行从r1向r2进行绘制，通过径向循环绘制圆弧段。第49行是绕圆周方向绘制的循环。第50-61行执行旋转操作产生第62和63行中的全局绘图坐标xpg和ypg，旋转函数与先前程序中的相同。

接下来在第66-75行中设置线段的颜色。土星环是由不同颜色的条带构成的，这和NASA观测图像中看到的物理组成结果一致。从r = r1到r1 +  deltar的第一个条带具有颜色clr=(.63，.54，.18)，剩余的条带也是如此。

第五个条带省略掉了，因为它是空的，背景颜色能显示出来。第六个条带的宽度是其他条带的两倍，并且为第七个条带提供了颜色。

对于给定的光方向，从大多数角度上，行星体本身都会在环上投下阴影。参考图7，我们的目标是确定点p到底位于行星阴影区域内部还是外部。

球状的行星将产生圆形的阴影，阴影的直径与行星的尺寸相等，或者更准确地说，是球体的“大圆”。它是用通过圆心的平面切割球体而得到的最大圆，就像把橙子切成两半，你看到的是一个橙子的最大圆。

在图7中，这种阴影可能是由相同大小的圆盘投影产生的，也可能是由球状行星投影产生的，两种情况下，阴影的大小都是一样的。在土星的侧面图中，大圆显示为是一条通过平面中心的加粗线。

从图7的几何图形中可以看出，如果p位于|B| > rs的位置，则它位于阴影区之外，其中rs是土星的半径;如果|B| <  rs，则p位于在阴影区之中。在绘制条带的时候，如果我们确定了p的位置在阴影区中，我们就把这个点涂成灰色，如果它在阴影区之外，我们就用第66-75行设置的条带颜色给它着色。

▲图7 阴影模型

我们的目标是求出给定位置p时的|B|值，由图7可看出：

|B|=|V|sin(φ)

并且我们知道：

V×û=|V||û|sin(φ)

其中û=-î 。将上述方程与|û|=1合并得：

B=V×û

|B|=|V×û|

在代码第78行中确定了入射光矢量î 的长度为1，但如果在第23-25行中输入的分量不计算为1，即

则入射光矢量可能不等于1。有必要的话，需要在第79-81行进行重构。第82-84行建立矢量V的分量。第85-87行计算B的分量。第88行给出其幅度magB  = |B|。

第89行确定p是否位于阴影区内，如果是，则执行第90行V与î的点积。这是用来确定p是否位于行星朝向光源的一侧，在这种情况下，它与行星的暗侧相对，而不在阴影区。因为在第78-89行的阴影算法中并未区分p的位置，所以此处必须进行明确。如果p确实位于阴影区域内的暗侧，则在第91行中将p设置为中等灰色。

相信你一定注意到，图6的土星环上有一个暗色条带，这是因为土星环在该位置上是空的：那里没有固体颗粒物，不能反射阳光。因此我们透过条带看到了背景颜色'midnightblue'。但这会产生一个问题，即阴影颜色的绘制会覆盖该空白处的背景颜色，因此在第93和94行将其重置为'midnightblue'。

既然条带的颜色都建立好了，我们就可以通过一个个短线段来绘制土星环了。第97-100行计算第一个线段的起始位置。参考图6，第100-101行确定该线段与土星的遮挡关系，线段在前就会被绘制。

103-108行确定线段是否在土星后面，位于后面就不会被绘制。这种遮挡关系是通过计算点的全局坐标与土星中心之间的距离c来完成的。

第107行的意思是，如果c大于球体半径的1.075倍，则绘制该段。因子1.075的作用是防止线段与球体的表面重合，这是有必要的，不然小于球体半径的可见区段将不会被绘制。

本文代码生成的图像有两点需要注意：首先是颜色。美国宇航局的摄影图像呈现的是一种几乎没有颜色灰色，但是许多土星观察者都将它描述为金黄色，因此我们选择了金色。

所有摄影师都知道，在摄影图像中呈现物体的真实颜色是十分困难的，颜色取决于入射光和物体本身的颜色，或许最好的方法是依靠肉眼观察。

如果你不赞同本文代码所生成的图像中的颜色，可以通过更改程序中clr的定义来修改它们。需要注意的第二点，是图5中土星表面阴影的曲率，它表示着色算法是否按预期工作。

在程序的使用上，你可以自行更改第24-26行中的入射光的方向和第32-34行中的旋转角度。

运行代码也需要一段时间，请耐心等待。

1"""   2SATURN   3"""   4   5import numpy as np   6import matplotlib.pyplot as plt   7from math import sin, cos, radians, sqrt   8   9plt.axis([0,150,100,0])  10plt.axis('off')  11plt.grid(False)  12  13print('running')  14#—————————————————parameters  15g=[0]*3  16  17xc=80 #———sphere center  18yc=50  19zc=0  20  21rs=25 #———sphere radius  22  23lx=-1 #———light ray unit vector components  24ly=0  25lz=0  26  27IA=0  28IB=.8  29+n=2  30  31Rx=radians(-20)  32Ry=radians(0)  33Rz=radians(30)  34  35#————————same as SHADESPHERE—————–  36  37#———————————————————rings  38alpha1=radians(-10)  39alpha2=radians(370)  40dalpha=radians(.5)  41  42r1=rs*1.5  43r2=rs*2.2  44dr=rs*.02  45deltar=(r2-r1)/7 #———ring band width  46  47#—————————————rotate ring point p which is at r, alpha  48for r in np.arange(r1,r2,dr):  49    for alpha in np.arange(alpha1,alpha2,dalpha):  50        xp=r*cos(alpha)  51        yp=0  52        zp=-r*sin(alpha)  53        rotx(xc,yc,zc,xp,yp,zp,Rx)  54        xp=g[0]-xc  55        yp=g[1]-yc  56        zp=g[2]-zc  57        roty(xc,yc,zc,xp,yp,zp,Ry)  58        xp=g[0]-xc  59        yp=g[1]-yc  60        zp=g[2]-zc  61        rotz(xc,yc,zc,xp,yp,zp,Rz)  62        xpg=g[0]  63        ypg=g[1]  64  65#—————————————————select ring band color  66    if r1 <= r < r1+1*deltar:  67        clr=(.63,.54,.18)  68    if r1+1*deltar <= r <= r1+2*deltar:  69        clr=(.78,.7,.1)  70    if r1+2*deltar <= r <= r1+3*deltar:  71        clr=(.95,.85,.1)  72    if r1+3*deltar <= r <= r1+4*deltar:  73        clr=(.87,.8,.1)  74    if r1+5*deltar <= r <= r1+7*deltar:  75        clr=(.7,.6,.2)  76  77#———————————————————————shadow  78    magu=sqrt(lx*lx+ly*ly+lz*lz)  79    ux=-lx/magu  80    uy=-ly/magu  81    uz=-lz/magu  82    vx=xc-xpg  83    vy=yc-ypg  84    vz=zc-zpg  85    Bx=uy*vz-uz*vy  86    By=uz*vx-ux*vz  87    Bz=ux*vy-uy*vx  88    magB=sqrt(Bx*Bx+By*By+Bz*Bz)  89    if magB < rs: #—————————if in the shadow region  90        if vx*lx+vy*ly+vz*lz <= 0: #———if v points toward light source  91            clr=(.5,.5,.2) #———shadow color  92  93    if r1+4*deltar <= r <= r1+5*deltar: #———overplot empty band  94        clr='midnightblue' #———with background color  95  96#——————————————————–plot line segment  97    if alpha == alpha1:  98        xstart=xpg  99        ystart=ypg 100    if zpg <= zc: #–front (z axis points into the screen) 101        plt.plot([xstart,xpg],[ystart,ypg],linewidth=2,color=clr) 102 103    if zpg >= zc: #–back 104        a=xpg-xc 105        b=ypg-yc 106        c=sqrt(a*a+b*b) 107        if c > rs*1.075: #——plot only the visible portion of rings 108            plt.plot([xstart,xpg],[ystart,ypg],linewidth=2,color=clr) 109        xstart=xpg 110        ystart=ypg 111 112plt.show()

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