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前言

通过设计不同层数、大小的网络模型，可以为优化算法提供初始的函数假设空间（或者所示网络容量）。但是随着网络参数的优化更新，模型的实际容量是可以随之变化的。
以多项式函数模型为例：
 y = r 0 + r 1 x + r 2 x 2 + r 3 x 3 … + r n x n + e r r o r y=r_0+r_1x+r_2x^2+r_3x^3…+r_nx^n+error y=r0+r1x+r2x2+r3x3…+rnxn+error
上述模型容量可以通过n来简单衡量。在训练的过程中，如果模型参数 r i = 0 r_i=0 ri=0，表征的函数模型也就降维了，那么网络的实际容量也就相应的减小了。因此，通过限制网络的稀疏性，可以来约束网络的实际容量。

正则化

正则化正是通过在损失函数上添加额外的参数稀疏性惩罚项（正则项），来限制网络的稀疏性，以此约束网络的实际容量，从而防止模型出现过拟合。

因此，对模型的参数添加稀疏性惩罚项后，我们的目标损失函数就变为：

式子中的第一项为原始的损失函数，第二项是对网络参数的稀疏性约束函数，也就是正则项。
下面我们重点来研究一下正则项。一般地，参数的稀疏性约束通过约束参数 θ \theta θ的L范数实现，即：

新的优化目标除了要最小化原来的损失函数之外，还需要约束网络参数的稀疏性，优化算法会在降低损失函数的同时，尽可能地迫使网络参数 θ \theta θ变得稀疏，他们之间的权重关系通过超参数????来平衡，较大的????意味着网络的稀疏性更重要；较小的????则意味着网络的训练误差更重要。通过选择合适的????超参数可以获得较好的训练性能，同时保证网络的稀疏性，从而获得不错的泛化能力。
常用的正则化方式有 L0，L1，L2 正则化。即0范数、1范数、2范数。

L0 正则化

L0 正则化是指采用 L0 范数作为稀疏性惩罚项 Ω ( θ ) \Omega(\theta) Ω(θ)的正则化方式，即

其中，L0范数定义为： θ i \theta_i θi中非零元素的个数。通过约束 Ω ( θ ) \Omega(\theta) Ω(θ)的大小，可以迫使网络中的连接权值大部分为0。但是由于L0范数并不可导，不能利用梯度下降法进行优化，所以在神经网络中的使用并不多。

L1 正则化

采用 L1 范数作为稀疏性惩罚项 Ω ( θ ) \Omega(\theta) Ω(θ)的正则化方式叫做 L1 正则化，即

其中，L1范数定义为： θ i \theta_i θi中所有元素的绝对值之和。L1 正则化也叫 Lasso
Regularization，它是连续可导的，在神经网络中使用广泛。

L2正则化

采用 L2 范数作为稀疏性惩罚项 Ω ( θ ) \Omega(\theta) Ω(θ)的正则化方式叫做 L2 正则化，即
其中L2范数定义为： θ i \theta_i θi中所有元素的平方和。L2 正则化也叫Ridge Regularization，它和 L1 正则化一样，也是连续可导的，在神经网络中使用广泛。

正则化效果

下面实验，在维持网络结构等其他超参数不变的条件下，在损失函数上添加L2正则化项，并通过改变超参数 λ \lambda λ来获得不同程度的正则化效果。
实验效果如下：

可以看到，随着正则化系数????的增加，网络对参数稀疏性的惩罚变大，从而迫使优化算法搜索而得到网络容量更小的模型。在???? = 0.00001时，正则化的作用比较微弱，网络出现了过拟合现象；但是???? = 0.1时，网络已经能够优化到合适的容量，并没有出现明显过拟合和欠拟合的现象。
需要注意的是，实际训练时，一般先尝试较小的正则化系数????，观测网络是否出现过拟合现象。然后尝试逐渐增大????参数来增加网络参数稀疏性，提高泛化能力。但是，过大的????
参数有可能导致网络不收敛，需要根据实际任务调节。

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